考研数学 中公2020考研轻松学高等数学的奥秘（数学二） 下载 pdf 百度网盘 epub 免费 2025 电子书 mobi 在线

《中公版·2020考研轻松学：高等数学的奥秘（数学二）》以真题为导向，以考试大纲为基准，在中公教育研究生考试研究院全年授课讲义、习题的基础之上整合、扩充、优化而来。每章主要内容包括：

“复习精导”：重现考试大纲，以表格形式统计历年真题分布，并以“考情速递”的形式指出每一章的考试要点和趋势，给出具体复习建议。使考生形成框架式考点分类。

“考点精析”：全面讲解考试大纲所规定的基本知识点，重点阐述知识点的内涵和外延以及复习过程中可能存在的问题。这一部分请您务必仔细研读，并在做题后温故知新。

“题型精讲”：总结本章在考试中的主要考点，通过从历年真题中精选以及自主研发的经典例题，让您系统全面地领会高等数学的基本思想，深化知识理解，培养解题能力。这一部分的例题请您务必反复练习，力求做到融会贯通。

“专题精练”：这部分是每个章节的课后作业，用于课下的复习与巩固。这一部分无论是题型设置还是题量和难度都尽量和“题型精讲”部分保持一致，确保您通过课后练习能够有效巩固所学内容。这一部分的题目请您务必独立完成，一方面检验自身的学习效果、查漏补缺，另一方面增长见识、培养独立做题的能力。

另外，为了对核心考点进行更加深入的阐述，同时也更加全面地解答考生在学习过程中可能遇到的问题，我们在书中的关键知识点和例题后附有精心录制的讲解视频，扫描对应的二维码即可查看。与此同时，我们还设置了与本书配套的直播课程，由中公考研名师讲解书中的核心考点及例题。

章极限的概念、性质及计算

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、基本概念()

二、基本性质()

三、重要公式与定理()

题型精讲()

一、函数极限的计算()

二、数列极限的计算()

三、无穷小的比较()

四、对收敛性及极限性质的考查()

专题精练()

一、函数极限的计算()

二、数列极限的计算()

三、无穷小的比较()

四、对收敛性及极限性质的考查()

参考答案及解析()

第二章极限的应用

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、连续与间断点()

二、渐近线()

三、导数与微分()

四、多元函数微分学的概念()

题型精讲()

一、连续与间断点()

二、渐近线()

三、导数与微分()

四、连续、可导与可微的关系()

专题精练()

一、连续与间断点()

二、渐近线()

三、导数与微分()

四、连续、可导与可微的关系()

参考答案及解析()

第三章导数的计算

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、一元函数导数的计算()

二、多元函数偏导数的计算()

题型精讲()

一、一元函数导数的计算()

二、多元函数偏导数的计算()

专题精练()

一、一元函数导数的计算()

二、多元函数偏导数的计算()

参考答案及解析()

第四章导数的应用

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、导数的几何与物理意义()

二、单调性和凹凸性()

三、极值和拐点()

四、多元函数的极值()

题型精讲()

一、导数的几何与物理意义()

二、单调性和凹凸性()

三、极值和拐点()

四、多元函数的极值()

专题精练()

一、导数的几何与物理意义()

二、单调性和凹凸性()

三、极值和拐点()

四、多元函数的极值()

参考答案及解析()

第五章不定积分

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、基本概念()

二、基本性质()

三、常用公式()

题型精讲()

一、有理函数积分()

二、三角有理式的积分()

三、指数函数的积分()

四、含有根式的积分()

五、分部积分法的使用()

专题精练()

一、有理函数积分()

二、三角有理式的积分()

三、指数函数的积分()

四、含有根式的积分()

五、分部积分法的使用()

参考答案及解析()

第六章定积分的概念、性质及计算

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、定积分的定义()

二、定积分的性质()

三、微积分基本定理()

四、定积分的常用方法()

五、广义积分()

题型精讲()

一、定积分的比较()

二、对变限积分的讨论()

三、定积分的计算()

四、广义积分()

专题精练()

一、定积分的比较()

二、对变限积分的讨论()

三、定积分的计算()

四、广义积分()

参考答案及解析()

第七章定积分的应用

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、平面图形的面积()

二、简单几何体的体积()

三、曲线弧长()

四、旋转曲面面积()

五、功()

六、质心和形心()

七、液体的静压力()

题型精讲()

一、平面图形的面积()

二、简单几何体的体积()

三、曲线弧长()

四、旋转曲面面积()

五、功()

六、质心和形心()

七、液体的静压力()

专题精练()

一、平面图形的面积()

二、简单几何体的体积()

三、曲线弧长()

四、旋转曲面面积()

五、功()

六、质心和形心()

七、液体的静压力()

参考答案及解析()

第八章中值定理

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、闭区间上连续函数的性质()

二、微分中值定理()

三、积分中值定理()

题型精讲()

一、对定理内容的考查()

二、对闭区间上连续函数性质的考查()

三、费马引理与罗尔定理()

四、辅助函数的构造()

五、双中值问题()

六、泰勒中值定理的使用()

专题精练()

一、对定理内容的考查()

二、对闭区间上连续函数性质的考查()

三、费马引理与罗尔定理()

四、辅助函数的构造()

五、双中值问题()

六、泰勒中值定理的使用()

参考答案及解析()

第九章微分方程

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、基本概念()

二、一阶微分方程()

三、高阶微分方程()

题型精讲()

一、一阶微分方程的求解()

二、高阶微分方程()

三、线性微分方程解的性质()

四、积分方程的求解()

五、微分方程的应用()

专题精练()

一、一阶微分方程的求解()

二、高阶微分方程()

三、线性微分方程解的性质()

四、积分方程的求解()

五、微分方程的应用()

参考答案及解析()

第十章二重积分

复习精导()

一、考试内容及要求()

二、历年真题分布统计()

考点精析()

一、基本概念()

二、基本性质()

三、对称性()

四、计算方法()

题型精讲()

一、对重积分性质的考查()

二、运用直角坐标计算二重积分()

三、交换积分次序()

四、运用极坐标计算二重积分()

五、坐标系的转换()

六、对称性的应用()

专题精练()

一、对重积分性质的考查()

二、利用直角坐标计算二重积分()

三、交换积分次序()

四、利用极坐标计算二重积分()

五、坐标系的转换()

六、对称性的应用()

参考答案及解析()

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高等数学的奥秘（数学二）

章极限的概念、性质及计算

一、考试内容及要求

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：

limx→0sinxx=1，limx→∞1 1xx=e，

洛必达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理，定积分的概念。

1理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。

2掌握极限的性质及四则运算法则。

3掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

4理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

5掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。二、历年真题分布统计

2000—2019年本章真题分布统计

题型年份函数极限

的计算数列极限的

计算及证明无穷小量

的比较对收敛性及

极限性质的考查总计2000年3分 3分 6分12分2001年3分3分3分9分2002年3分 7分3分 8分8分29分2003年4分4分4分12分2004年10分4分4分18分2005年11分4分15分2006年12分10分22分2007年4分4分4分12分2008年4分 9分4分17分2009年9分4分4分17分2010年4分 5分9分2011年4分 10分6分4分24分2012年10分4分 6分4分24分2013年4分8分4分 10分26分2014年4分 10分4分18分2015年10分10分2016年10分4分4分18分2017年10分10分4分24分2018年4分 4分11分19分2019年4分4分8分总计146分93分81分23分343分

本章是考研数学的必考内容，在近20年真题中平均每年的考题数量在3道左右，每年考查的平均分值达到了18.4分（2000—2002年的满分为100分，折合成满分150之后再计算），无论在出现频率上还是分值比重上都是考研数学中重要的知识板块之一。从考题分布来看，函数极限的计算是本章的核心内容，占比超过40%，重要题型无穷小量的比较考查的也是函数极限的计算。所以，在本章的学习中，熟练掌握函数极限中各类未定式的计算方法是重中之重。此外，在近几年的真题中，对数列极限计算的考查比例有所增加，2017年和2018年的真题中分别考到了运用定积分的定义及单调有界准则计算数列极限，这需要引起重视。除此之外，本章的真题中还考查过对极限收敛性以及极限相关性质的讨论，运用到的知识点主要包括极限的保号性、四则运算法则以及极限的收敛准则等相关性质及定理，这类题的考查频率不高，但得分率往往很不理想，是本章学习中的难点。

一、基本概念（一）极限1函数极限视频讲解设函数f（x）在点a的某去心邻域内有定义，若存在实数A，使得对ε>0，总存在δ>0，当x∈（a-δ，a）∪（a，a δ）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→a时，f（x）的极限存在，并将其极限值定义为A，记作limx→af（x）=A。

设函数f（x）在区间（-∞，-M）∪（M， ∞）内有定义（其中M为某正数），若存在实数A，使得对ε>0，存在X>0，当x∈（-∞，-X）∪（X， ∞）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→∞时，f（x）的极限存在，并将其极限值定义为A，记作limx→∞f（x）=A。

2左、右极限

设函数f（x）在点a的某左邻域内有定义，若存在实数A，使得对ε>0，存在δ>0，当x∈（a-δ，a）时，有|f（x）-A|<ε，则称f（x）在a点的左极限存在，并将其极限定义为A，记作limx→a-f（x）=A。

设函数f（x）在区间（-∞，-M）内有定义（其中M为某正数），若存在实数A，使得对ε>0，存在X>0，当x∈（-∞，-X）时，有|f（x）-A|<ε，则称x→-∞时，f（x）的极限存在，并将其极限定义为A，记作limx→-∞f（x）=A。

右极限limx→a f（x）与limx→ ∞f（x）的定义类似。

函数极限可以统一用limx→□f（x）=A来表示，定义可以统一概括成一句话：当x在“□”的“附近”取值时（或x和“□”足够接近时），f（x）和A的距离可以任意小。“附近”的含义：在极限过程x→a中，a的“附近”表示a的去心邻域（a-δ，a）∪（a，a δ）；在极限过程x→∞中，∞的“附近”指|x|足够大时x的取值范围，即区间（-∞，-X）∪（X， ∞）。在极限过程x→a-，a 以及-∞， ∞中，“附近”的含义类似。

3数列极限

对数列{xn}，若存在实数a，使得对ε>0，存在正整数N，当n>N时，恒有|xn-a|<ε，则称数列{xn}的极限存在或数列{xn}收敛，并将其极限定义为a，记作limn→∞xn=a。

①数列极限的定义也可以概括成一句话：当n足够大时，xn和a的距离可以任意小。

②注意n→∞的两个重要特征：首先，这里的∞专指 ∞；其次，n的取值是离散的。对于约定表示正整数的符号，如m，k，i，j等，它们→∞都有类似的特征。

③函数极限与数列极限的关系：如果limx→ ∞f（x）=A，则必有limn→∞f（n）=A；反之，如果limn→∞f（n）=A，则不一定有limx→ ∞f（x）=A。

（二）无穷小量与无穷大量1无穷小量若在某极限过程x→□（这里的x→□可以指函数极限x→a，x→a-，x→a ，x→∞，x→-∞，x→ ∞中的任意一种，下同，数列极限无穷小量定义的表述类似）中，f（x）的极限为0，即limx→□f（x）=0，则称x→□时，f（x）为无穷小量。

①在某极限过程中，函数极限为0，则在该极限过程中，函数为无穷小量。由定义可知，无穷小量不一定是0（但0一定是无穷小量），多数情况下，无穷小量是变化的，而不是静止不动的。从本质上看，无穷小量是一个变化过程，提到无穷小量的同时，一定要标明极限过程。例如，单独说“sinx是无穷小量”是没有意义的，正确的表述为“当x→0时，sinx是无穷小量”。

②无穷小量的重要性质：有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量，有限个无穷小量的和仍为无穷小量，无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。

2无穷大

若在某极限过程x→□中，函数f（x）的值无限增大，则称x→□时，f（x）为无穷大量，记作limx→□f（x）=∞。其严格的数学表述如下：

limx→af（x）=∞对M>0，δ>0，当0<|x-a|<δ时，恒有|f（x）|>M；

limx→∞f（x）=∞对M>0，X>0，当|x|>X时，恒有|f（x）|>M。

①无穷大实际上是一个极限不存在的量，但极限不存在的量并不一定都是无穷大；

②与无穷小类似，无穷大也是动态变化的，而不是一个静止不动的数；

③无穷大与无穷小的关系：无穷大的倒数是无穷小，非0的无穷小的倒数是无穷大。

3无穷小的比较

设limx→□α（x）=limx→□β（x）=0，且α（x），β（x）均在极限点□的附近不为零，则：

若limx→□α（x）β（x）=0，则称x→□时，α（x）是β（x）的高阶无穷小，β（x）是α（x）的低阶无穷小，记作α（x）=o［β（x）］；

若limx→□α（x）β（x）=C≠0，则称x→□时，α（x）与β（x）为同阶无穷小。若常数C=1，则称x→□时，α（x）与β（x）为等价无穷小，记作α（x）～β（x）。

视频讲解

高阶无穷小的常用性质，假设α（x）与β（x）均为x→□时的无穷小，且α（x）β（x）≠0，则有：

①o［α（x）］±o［α（x）］=o［α（x）］，a·o［α（x）］=o［α（x）］（a≠0），α（x）o［β（x）］=o［α（x）β（x）］；

②α（x）～β（x）α（x）=β（x） o［β（x）］。

二、基本性质（一）四则运算法则设limx→□f（x）=A，limx→□g（x）=B，则：

limx→□［f（x）±g（x）］=limx→□f（x）±limx→□g（x）=A±B；

limx→□f（x）g（x）=limx→□f（x）·limx→□g（x）=AB；

limx→□f（x）g（x）=limx→□f（x）limx→□g（x）=AB（B≠0）。

①四则运算在极限计算中的基本作用是对函数进行分解，将函数拆分成两部分的和、差、积或商，各自求完极限之后再分别代入，拆分的时候要注意两点：一是保证各部分的极限均存在（可以有无穷），二是保证分解之后不会成为未定式。

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